martes, 28 de abril de 2015


Casos específicos

Circuito serie RL

Figura 8. Circuito serie RL (a) y diagrama fasorial (b).
Se supone que por el circuito de la figura 8a circula una corriente:
\vec{I} = I _\ \underline{/ \alpha}
Como V_R está en fase y V_L adelantada 90º respecto a dicha corriente, se tendrá:
\vec{V}_R = IR _\ \underline{/ \alpha}
\vec{V}_L = I{X_L} _\ \underline{/ \alpha + 90}
Sumando fasorialmente ambas tensiones se obtiene la total V:
\vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_L = V _\ \underline{/ \alpha + \phi}
donde, y de acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 8b, V es el módulo de la tensión total:
V= \sqrt {{V_R}^2 + {V_L}^2} = \sqrt {({IR})^2 + ({I{X_L}})^2} =
= I \sqrt {R^2 + {X_L}^2}
y φ el ángulo que forman los fasores tensión total y corriente (ángulo de desfase):
\phi = \arctan \left(\frac{X_L}{R} \right)
La expresión \sqrt {R^2 + {X_L}^2} representa la oposición que ofrece el circuito al paso de la corriente alterna, a la que se denomina impedancia y se representa Z:
Z = \sqrt {R^2 + {X_L}^2}
En forma polar:
\vec{V} = V _\ \underline{/ \alpha + \phi} = IZ _\ \underline{/ \alpha + \phi} = I _\ \underline{/ \alpha} \cdot Z _\ \underline{/ \phi} =\vec{I} \vec{Z}
con lo que la impedancia puede considerarse como una magnitud compleja, cuyo valor, de acuerdo con el triángulo de la figura 9, es:
\vec{Z} = Z _\ \underline{/ \phi} = R + X_Lj
Obsérvese que la parte real resulta ser la componente resistiva y la parte imaginaria la inductiva.

Circuito serie RC

Figura 10. Circuito serie RC (a) y diagrama fasorial (b).
Se supone que por el circuito de la figura 10a circula una corriente:
\vec{I} = I _\ \underline{/ \alpha}
Como V_R está en fase y V_C retrasada 90º respecto a dicha corriente, se tendrá:
\vec{V}_R = IR _\ \underline{/ \alpha}
\vec{V}_C = I{X_C} _\ \underline{/ \alpha - 90}
La tensión total V será igual a la suma fasorial de ambas tensiones,
\vec{V} = \vec{V}_R + \vec{V}_C = V _\ \underline{/ \alpha - \phi}
Y de acuerdo con su diagrama fasorial (figura 10b) se tiene:
V= \sqrt {{V_R}^2 + {V_C}^2} = \sqrt {({IR})^2 + ({I{X_C}})^2} =
= I \sqrt {R^2 + {X_C}^2}
\phi = \arctan (\frac{X_C}{R})
Al igual que en el apartado anterior la expresión \sqrt {R^2 + {X_C}^2} es el módulo de la impedancia, ya que
\vec{V} = V _\ \underline{/ \alpha - \phi} = IZ _\ \underline{/ \alpha - \phi} =
= I _\ \underline{/ \alpha} \cdot Z _\ \underline{/ -\phi} =\vec{I} \vec{Z}
lo que significa que la impedancia es una magnitud compleja cuyo valor, según el triángulo de la figura 11, es:
\vec{Z} = Z _\ \underline{/ -\phi} = R - X_Cj
Obsérvese que la parte real resulta ser la componente resistiva y la parte imaginaria, ahora con signo negativo, la capacitiva.

Circuito serie RLC

Figura 12. Circuito serie RLC (a) y diagrama fasorial (b).
Razonado de modo similar en el circuito serie RLC de la figura 12 se llega a la conclusión de que la impedancia Z tiene un valor de:
\vec{Z} = Z _\ \underline{/ \phi} = R + (X_L - X_C)j
siendo φ
\phi = \arctan \left ( \frac{X_L - X_C}{R} \right )
En el diagrama se ha supuesto que el circuito era inductivo (X_L > X_C \,), pero en general se pueden dar los siguientes casos:
  • X_L > X_C \,: circuito inductivo, la intensidad queda retrasada respecto de la tensión (caso de la figura 12, donde φ es el ángulo de desfase).
  • X_L < X_C \,: circuito capacitivo, la intensidad queda adelantada respecto de la tensión.
  • X_L = X_C \,: circuito resistivo, la intensidad queda en fase con la tensión (en este caso se dice que hay resonancia).

Circuito serie general

Figura 13. Asociaciones de impedancias: a) serie, b) paralelo y c) impedancia equivalente.
Sean n impedancias en serie como las mostradas en la figura 13a, a las que se le aplica una tensión alterna V entre los terminales A y B lo que originará una corriente I. De acuerdo con la ley de Ohm:
\vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}}
donde \vec{Z}_{AB} es la impedancia equivalente de la asociación (figura 13c), esto es, aquella que conectada la misma tensión lterna, \vec{V}, demanda la misma intensidad, \vec{I}. Del mismo modo que para una asociación serie de resistencias, se puede demostrar que
\vec{Z}_{AB} = \vec{Z}_1 + \vec{Z}_2 +...+ \vec{Z}_n = \sum_{k=1}^n \vec{Z}_k = R_T + X_Tj
lo que implica:
R_T =\sum_{k=1}^n R_k y X_T =\sum_{k=1}^n X_k

Circuito paralelo general

Del mismo modo que en el apartado anterior, se consideran "n" impedancias en paralelo como las mostradas en la figura 13b, a las que se le aplica una tensión alterna "V" entre los terminales A y B lo que originará una corriente "I". De acuerdo con la ley de Ohm:
\vec{Z}_{AB} = \frac{\vec{V}}{\vec{I}}
y del mismo modo que para una asociación paralelo de resistencias, se puede demostrar que
\vec{Z}_{AB} = \frac{1}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\frac{1}{\vec{Z}_k}}}

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